几种常见不等式的解法

不等式的解法所使用的数学方法较多,各种方法互相渗透,使解题更加灵活,多变,巧妙。下面就高中数学几种常见的不等式的解法做个归纳小结。

1.一元一次不等式的解法
任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或ax<b的形式。就ax>b而言,当a>0时,其解集为(ab,+∞),当a<0时,其解集为(-∞,ba),当a=0时,b<0时,期解集为R,当a=0,b≥0时,其解集为空集。
例1:解关于x的不等式ax-2>b+2x
解:原不等式化为(a-2)x>b+2
①当a>2时,其解集为(b+2a-2,+∞)
②当a<2时,其解集为(-∞,b+2a-2)
③当a=2,b≥-2时,其解集为φ
④当a=2且b<-2时,其解集为R.
2.一元二次不等式的解法
任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式,然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集,全体实数,部分实数),如果是空集或实数集,那么不等式已经解出,如果是部分实数,则根据“大于号取两根之外,小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2:解不等式ax2+4x+4>0(a>0)
解:△=16-16a
①当a>1时,△<0,其解集为R
②当a=1时,△=0,则x≠-2,故其解集(-∞,-2)∪(-2,+∞)
③当a<1时,△>0,其解集(-∞,-2-21-aa)∪(-2+21-aa,+∞)
3.不等式组的解法
将不等式中每个不等式求得解集,然后求交集即可.
例3:解不等式组m2+4m-5>0 (1)
m2+4m-12<0 (2)
解:由①得m<-5或m>1
由②得-6<m<2
故原不等式组的解集为(-6,-5)∪(1,2)
4.分式不等式的解法
任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式,然后讨论分子分母的符号,得两个不等式组,求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.
例4:解不等式x2-x-6-x2-1>2
解:原不等式化为:3x2-x-4-x2-1>0
它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0
解(I)得解集空集,解(II)得解集(-1,43).
故原不等式的解集为(-1,43).
5.含有绝对值不等式的解法
去绝对值号的主要依据是:根据绝对值的定义或性质,先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉,化为不含绝对值的不等式,然后求出其解集即可。
(1)|x|>a(a>0) x>a或x<-a.
(2)|x|0)-a  解:原不等式等价于3xx2-4 ≥1,①或 3xx2-4≤-1 ②
解①得2<x≤4或-2<x≤-1
解②得-4≤x<-2或1≤x<2
故原不等式的解集为[-4,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)∪(2,4].
例6:解不等式|x2-3x+2|>x2-1
解:原不等式等价于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②
解①得{x|x<1},解②得{x|12<x<1}。故原不等式的解集为{x|x<1},一般地,形如|f(x)|>g(x)和|f(x)|<g(x)两类绝对值的不等式的解法同于|x|>a和|x|  例7:解不等式|x+1|+|x|<2
解:①当x≤-1时,原不等式变为-x-1-x<2 ∴-32 <x≤-1
②当-1<x≤0时,原不等式变为x+1-x<2,是绝对不等式,
∴-1<x≤0
③当x>0时,原不等式变为x+1+x<2.
∴解得0<x< 12<br=””>  综合①,②,③知,原不等式的解集为{x|-32<x  例8:解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2
解:①当x≤1时,原不等式变为x2-3x+2+x2-4x+3>2,此时解集为{x|x<12}.
②当1<x≤2时,原不等式变为-x2+3x-2-x2+4x-3>2,此时解集为空集。
③当2<x≤3时,原不等式变为x2-3x+2-x2+4x-3>2,此时的解集是空集。
④当x>3时,原不等式化为x2-3x+2+x2-4x+3>2,此时的解集为{x|x>3}.
综合①②③④可知原不等式的解集为{x|x≤12}∪{x|x>3}.从以上两个例子可以看出,解含有两个或两个以上的绝对值的不等式,一般是先找出一些关键数(如例7的关键数是-1,0;例8中的关键数是1,2,3)这些关键数将实数划分为几个区间,在这些区间上,可以根据绝对值的意义去掉绝对值号,从而转化为不含绝对值的不等式,应当注意的是,在解这些不等式时,应该求出交集,最后综合各区间的解集写出答案。
6.无理不等式的解法
无理不等式f(x)>g(x)的解集为不等式组(I)f(x)≥[g(x)]2f(x)≥0g(x)≥0和(II)f(x)≥0g(x)<0的解集的并集.
无理不等式f(x)<g(x)(g(x)>0)的解集为不等式组f(x)≥0f(x)<[g(x)]2g(x)>0的解集.
例9:解不等式:2x+5-x-1>0
解:原不等式化为:2x+5>x+1   由此得不等式组(I)2x+5≥0x+1<0或(II)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2
解(I)得-52≤x<-1,解(II)得-1≤x<2
故原不等式的解集为[-52 ,2].
7.指数不等式的解法
根据指数函数的单调性来解不等式。
例10.解不等式:9x>(3)x+2
解:原不等式化为 32x>3x+22
∴2x>x+22 即x>23
故原不等式解集为(23 ,+∞).
8.对数不等式的解法
根据对数函数的单调性来解不等式。
例11:解不等式: log12(x+1)(2-x)>0
解:原不等式化为log12(x+1)(2-x)>log121
∴ (x+1)(2-x)>0 (1)(x+1)(2-x)<1 (2)
解①得-1<x<2
解②得x<1-52 或x>1+52
故原不等式解集(-1,1-52 )∪( 1+52,2).
9.简单高次不等式的解法
简单高次不等式可以利用数轴标根法来解不等式.
例12:解不等式(x+1)(x2-5x+4)<0
解:原不等式化为:(x+1)(x-1)(x-4)<0
如图,由数轴标根法可得原不等式解集为(-∞,-1)∪(1,4)
10.三角不等式的解法
根据三角函数的单调性,先求出在同一周期内的解集,然后写出通值。
例13:解不等式:sinx≤-12
解:sinx≤-12在[0,2π]内的解是:76 π≤x≤116π
故原不等式的解集为[2kπ+76 ,2kπ+116 ](k∈z)。
11.含有字母系数不等式的解法
在解不等式过程中,还常常遇到含有字母系数的一些不等式,此时,一定要注意字母系数进行讨论,以保证解题的完备性。
例14:解不等式23x-2x  解:原不等式变形为22x(22x-1)  ∴(22x-1) (22x-a)<0
∴原不等式等价于22x-1>022x-a<0 或22x-1<022x-a>0
①当a≤0时,x<0;
②当0  ③当a=1时,无解
④当a>1时,0<x  解不等式的基础是解一元一次不等式,解一元二次不等式,解由一元一次不等式和一元二次不等式组成的不等式组。解其它各式各样的不等式(三角不等式除外)关键在于根据有关的定义,定理,性质转化这些不等式为上述三类不等式。在具体转化的过程中,特别应该注意每一步都应是同解变形。像无理不等式中的开偶次方时的被开方数及对数不等式中的真数等,在去根号和去对数符号时,一定要使被开方数非负,真数大于零。
综上所述,不等式类型较多,解法各异,要根据具体题目,选择正确方法,就可达到迎刃而解的目的。